Qu’est qu’une intégrale dépendant d’un paramètre?
Voilà un sujet important et intéressant qui vous conduire vers l’étude des transformées de Fourier, de Laplace et de la fonction Gamma.
Nous avons déjà rencontré des intégrales à paramètres: les intégrales d’une suite de fonctions indexées par un entier. L’objet de ce chapitre est plus large: si, au lieu de l’entier n, le paramètre est une variable réelle ou complexe?
C’est certes, une difficulté supplémentaire, mais, surmonter ces difficultés nous ouvrira les portes d’autres théories comme l’analyse du signal.
Le théorème d’Arzéla
Quel enseignant n’a pas souhaité avoir dans sa batterie de théorèmes un théorème de convergence dominée? Tout en restant dans le cadre de l’intégrale de Riemann, le théorème d’Arzéla donne une ouverture vers la convergence dominée
Nous n’allons pas nous cacher: ce paragraphe est dense et difficile. Prenez votre temps pour accéder aux subtilités
L’exposé qui aboutit au théorème d’Arzéla (12 pages!!)
Intégrale à paramètre
Remarquez le singulier que j’utilise pour le mot « paramètre ». En effet, une intégrale pourrait dépendre de plusieurs paramètres; ce serait un peu trop sportif pour le niveau où nous voulons situer ce cours.
Dans ce paragraphe, nous étudions la continuité et la dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale à paramètres; résultats qui nous donnerons la solution de plusieurs questions.
Les théorèmes de continuité et de dérivabilité d’une fonction définie par un paramètre
Intégrale généralisée dépendant d’un paramètre
Allons un peu plus loin que le paragraphe précédent en nous intéressant aux intégrales généralisées qui dépendent d’un paramètre….C’en est la continuité, et cela devrait être relativement simple.
L’exposé sur les intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
La fonction Gamma
C’est dans beaucoup de secteurs des mathématiques que nous retrouvons la fonction Gamma; les probabilités en sont les plus remarquables. Montrée comme le prolongement à R de la factorielle, ce n’est pas une étude très facile, mais elle donne des résultats tout à fait jolis et intéressants…. Et nous la retrouvons dans beaucoup d’exposés de l’agrégation.
L’étude de la fonction Gamma
Convolution, Transformée de Fourier, Transformée de Laplace
Dans ce paragraphe, 3 thèmes qui s’entrecroisent.
Tout d’abord, la notion de convolution de 2 fonctions, puis les transformées de Fourier et de Laplace.
Ce ne sont pas des leçons compliquées, les exercices sont simples; il faut voir ces 3 exposées comme une application des leçons sur les intégrales qui dépendent d’un paramètre.
Exposé sur la convolution de 2 fonctions
La transformée de Fourier
La transformée de Laplace
Sur l’établi, remets ton ouvrage
Comme toujours une liste d’exercices dits complémentaires pour affiner votre maîtrise du cours. Cette liste ne contient pas beaucoup de difficultés.
Un fichier d’exercices complémentaires
Et le fichier de la correction des exercices