Les fonctions intégrables au sens de Riemann

Le calcul intégral, en L1, se résume à l’intégrale de Riemann. Le grand intérêt de cet exposé est de faire ressortir que ce ne sont pas les seules fonctions continues qui sont intégrables.
Ce chapitre est difficile et nécessite une attention de tous les instants proportionnelle, sans doute, à son importance. Une chance, c’est que dans ce chapitre, beaucoup de notions sont déjà connues. Elles sont étendues à des fonctions pas forcément continues et donc plus difficiles à appréhender

La notion de subdivision

La notion de subdivision n’est pas très difficile à comprendre; c’est lorsque l’on combine les fonctions numériques avec ces subdivisions, que les choses se corsent!!….C’est à ce moment que l’on définit ce qu’est une fonction intégrable.
Rassurons nous: si cette notion a une grande importance théorique, ce ne sont pas ces notions que nous utiliserons, je dirais, quotidiennement. Non… Mais nous sommes en L1…et il faut apprendre la rigueur de la construction!!
Le premier paragraphe du calcul intégral, celui qui traite des subdivisions

Propriétés des fonctions intégrables au sens de Riemann

Voilà un paragraphe des plus importants; on y voit les notions et propriétés essentielles du calcul intégral: les fonctions en escaliers, les fonctions réglées, les conséquences de la convergence uniforme des suites de fonctions sur les intégrales, on y démontre qu’une fonction continue est intégrable au sens de Riemann. Nous y trouvons aussi plusieurs résultats très fins et très délicats. Paragraphe essentiel, donc qu’il faut bien comprendre et maîtriser.
Le fichier du paragraphe sur les fonctions intégrables

Caractérisation des fonctions intégrables

Voici un paragraphe qui peut poser des difficultés. On y découvre des notions surprenantes que nous retrouverons dans d’autres cours (probabilités, intégrations de Lebesgue), comme la notion d’ensemble négligeable, l’oscillation d’une fonction en un point qui fait souvent le bonheur des poseurs de colles!!
Nous y retrouvons des résultats plus classiques comme l’intégration de la valeur absolue d’une fonction, les sommes de Riemann dont nous voyons l’utilité des les exercices complémentaires, la relation de Chasles, l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et j’en passe, sûrement!!
Les caractérisations des fonctions intégrables est dans ce fichier

Fonctions définies par des intégrales

Voici un paragraphe très intéressant et qui a une composante bien plus générale que celle vue en L0. On s’aperçoit que définir une fonction par une intégrale, régularise cette fonction.
Il faut se mettre en tête que nous travaillons sur des fonctions intégrables, pas forcément continues.
Pour le reste, rien que de plus classique: intégration par parties, intégration par parties généralisée, changement de variables….
Les fonctions définies par une intégrale, et toutes les propriétés qui en découlent

Les fonctions à valeurs complexes

Dues à certaines particularité des fonctions à valeurs complexes, nous ne pouvions pas faire l’économie d’une présentation des fonctions numériques d’une variable réelle à valeurs dans C.
L’exposé est simple et ne pose pas de difficultés
L’intégration des fonctions à valeurs complexes

Des exercices

Le plaisir de résoudre des exercices!!…..En fait, c’est surtout un moyen d’assimiler les notions vues dans les exposés. En plus, pour vous aider, il y a les corrigés (48 pages!!)
Des exercices complémentaires
La correction des exercices (48 pages!!)