Étude de quelques fonctions transcendantes

Qu’est ce qu’une fonction transcendante? Très simplement, des fonctions qui ne peuvent s’écrire sous forme polynomiale ou sous forme de quotients de polynômes.
L’une des plus importantes est bien sûr la fonction exponentielle que nous définissons bien différemment qu’en L0: nous la définissons comme solution d’une équation fonctionnelle.
La fonction logarithme sera, elle, vue comme fonction réciproque de la fonction exponentielle…Puis nous passerons aux fonctions hyperboliques et à leur fonctions réciproques.
Ce chapitre peut être considéré comme une pause dans l’apprentissage de nouvelles notions, et une mise en pratique de notions vues dans l’étude des fonctions. D’autres pauses sont ainsi prévues.

Fonctions exponentielles

Dans cette partie, nous présentons LES fonctions exponentielles . Elles sont donc présentées comme solutions d’une équation fonctionnelle qui apparaît simple…Et pourtant!!
C’est une partie importante qui englobe toutes les fonctions exponentielles, et non pas simplement la fonction exponentielle de base e; importante aussi par les méthodes utilisées. L’étude de l’exponentielle classique (de base e) se fera par l’étude d’une suite de fonctions. C’est un outil important, que l’on retrouve dans une des bibles de l’analyse: le RUDIN (Real and complex analysis). J’ai essayé de résoudre la question petit à petit, pénétrant lentement dans le cœur du problème
Voici donc un exposé que je crois important: La définition des fonctions exponentielles

Les fonctions logarithmes

Ce paragraphe traite plus que les fonctions logarithmes: il traite aussi des fonctions puissances, des fonctions logarithmes de base quelconque.
Comme écrit ci-dessus, les fonctions logarithmes sont décrites comme fonctions réciproques des fonctions exponentielles. Une autre vue que la vue classique enseignée en lycée.
Les fonctions logarithmes, les fonctions puissances

Les fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques

C’est la paramétrisation des hyperboles qui a donné le nom à ces fonctions. Une jolie étude qui se rapproche des fonctions trigonométriques et des fonctions trigonométriques réciproques. Des exercices qui y ressemblent; un ré-investissement de notions vues antérieurement. C’est plus un exercice d’applications que l’étude de notions importantes.
Cette étude apporte, par contre, des primitives supplémentaires…hummm…
L’exposé sur les fonctions hyperboliques

Croissances comparées

Ce paragraphe est un classique dans l’étude des limites. Classique, mais néanmoins d’une grande importance, souvent repris comme exemples dans les notations de Landau…….Bonne Lecture!!
L’exposé sur les croissances comparées

Quelques exercices pour se faire la main

Cent fois sur l’enclume, remets ton ouvrage!!…(air connu)
On y démontre que le logarithme ou l’exponentielle ne peuvent être exprimées sous forme de fractions rationnelles (et donc de polynômes). Le reste n’est pas très extraordinaire. .Bon courage, quand même!!
Les énoncés de ces quelques exercices complémentaires

Et la correction des exercices!!

Comme souvent, presque tous les exercices sont corrigés et surtout rédigés entièrement, ce qui manque souvent aux manuels; 2 ou 3 exercices ne sont pas corrigés, ceux que j’ai pensés évidents.
Le fichier des exercices corrigés