Les matrices et les déterminants

Je vous présente, ici, 2 êtres mathématiques qui ont des importances cruciales: les matrices et leurs cousins germains, les déterminants
On retrouve les matrices en informatique, et il y a un problème intéressant posé par le coût du calcul d’un déterminant.
L’exposé présenté ici, est un exposé très formel donnant les premiers outils nécessaires à la manipulation des matrices et des déterminants.

Définition de ce qu’est une matrice

Définition d’une matrice, généralités sur les matrices
Finalement, les matrices ne sont que des tableaux de nombres.

Opérations sur les matrices

Opérations entre matrices: multiplications, addition
Des tableaux, sur lesquels on peut opérer: voilà qui devient intéressant!!

Particularité de certaines matrices

Matrices transposées, matrices inversibles, puissance de matrice

Exercices sur les matrices

Peu d’exercices présentent des difficultés; ce sont, le plus souvent, des exercices très calculatoires
Voici la liste des exercices à travailler

Définition des déterminants

Ici, pas de théorie (elle viendra en L1), mais un exposé très pragmatique, avec peu de démonstration, presque toujours limité à la dimension 2 ou la dimension 3
Voici l’exposé de ce qui peut être considéré comme une introduction aux déterminants

Les systèmes de Cramer

Les systèmes de Cramer ont disparu de l’enseignement des lycées, au profit de méthodes très très empiriques presque jamais justifiées. J’ai voulu, ici, les remettre à l’ordre du jour, parce que ce sont des méthodes qui marchent, se démontrent facilement et sont une application facile des déterminants.
Il y a des objections pour l’utilisation des systèmes de Cramer. Si le calcul est simple pour les dimensions 2 et 3, il devient rapidement inextricable pour des dimensions supérieures. De plus, même avec des ordinateurs rapides, il faudrait des siècles pour résoudre des systèmes, même petits. La méthode de Cramer est donc sérieusement limitée. Mais, c’est un excellent prétexte pour la pratique des déterminants
Voici l’exposé de la méthode de Cramer pour les systèmes linéaires d’ordre 2 ou 3 (Pas plus!!)

Exercices sur les déterminants

Ces exercices ne présentent aucune difficulté
Voici la liste des exercices à travailler

Correction de quelques exercices

Comme souvent, tous les exercices ne sont pas corrigés; il en est qui sont évidents, d’autres qui sont répétitifs; ne sont corrigés que ceux qui sont représentatifs.
Voici la correction de quelques exercices proposés