Les structures d’anneaux et de corps
Ce sont 2 structures très importantes, déjà été étudiées en L0; une seconde chance pour mieux comprendre ces structures qui, après tout, nous sont très familières. Nous ne nous contentons pas de révisions de L0… mais en étudiant les polynômes dans ce cours de L1, nous en verrons encore plus.
La structure d’anneau: premiers éléments
Bien sûr que nous reprenons la définition de ce qu’est un anneau, mais nous approfondissons beaucoup plus dans les exemples et les exercices.
Le fichier donnant les premières définitions, les premiers exemples
La structure d’anneau: idéaux et morphismes d’anneaux
Dans ce paragraphe, nous en faisons bien plus qu’en L0 (en 7 pages, quand même!!); nous détaillons les notions de morphismes, d’idéaux et de relation d’équivalence modulo un idéal. Vous pouvez vous souvenir du cours sur les groupes: il y a beaucoup de similitudes. Et toujours des exercices à faire.
Idéal d’un anneau, morphisme d’anneaux, relation d’équivalence modulo un idéal…
La structure de corps
Voici une section que je trouve relativement simple: un corps est un ensemble qui a 2 lois et tel que chacune de ces lois lui confère la structure de groupe….Ah!! On lui ajoute une pincée de distributivité. Ayez comme idée que cela fonctionne comme les réels ou les complexes.... (au moins pour commencer)
Ah oui, on recommence par les anneaux, soulignant ainsi qu’un corps est un peu plus, ou un peu mieux, qu’un anneau
La structure de corps bien définie…et à travailler.
Le corps des quotients
C’est un paragraphe qui peut paraître rébarbatif, je l’avoue…Construire un corps, dit corps des quotients, à partir d’un anneau intègre…Quelle idée!!….Quel boulot!!…
Oui, mais voilà, en mathématiques, on ne se contente pas d’affirmer l’existence ou d’affirmer que c’est vrai… Il faut prouver l’existence, prouver que ce que nous énonçons est vrai. Et donc, ici, sans le dire, nous construisons l’ensemble des nombres rationnels Q, à partir de l’anneau des entiers relatifs Z…..De la belle ouvrage
La construction du corps des quotients.
Problèmes
Voici 2 problèmes pas très difficiles ni inintéressants qui nous parlent d’anneaux euclidiens sans le dire….Les travailler en réfléchissant!
Les énoncés des problèmes.
Et la correction des exercices
Je n’ai pas corrigé tous les exercices que j’ai proposés puisque beaucoup se ressemblent. Il y en a, quand même pour 14 pages, presque autant que de pages de cours!!
Les corrigés de presque tous les exercices.