La différentiabilité

Voici une partie importante du cours de L1. Beaucoup de notions ont été vues dans le cours de L0 et je ne reviens pas dessus
Le parti-pris de cet exposé est l’approximation, parti-pris que nous retrouverons ailleurs, dans les développement limités, en particulier.
La plupart du temps, sauf indications contraires, les fonctions seront à valeurs dans l’ensemble des nombres complexes. Nous étudierons aussi les fonctions convexes et les suites de fonctions différentiables

Fonctions différentiables

Dans cette partie, nous définissons les fonctions différentiables. Nous en précisons les premières propriétés et étudions quelques exemples
Voici l’exposé sur la définition et les propriétés des fonctions différentiables

Différentiabilité et Dérivabilité

Jusqu’en L0, nous n’avons étudié que des fonctions dérivables. Quel lien existe-t-il entre fonctions dérivables et fonctions différentiables; nous montrons dans ce paragraphe que ces deux notions sont, dans R, équivalentes
Donc, à partir d’ici, nous retrouverons beaucoup de notions vues en L0
Où on montre que différentiabilité et dérivabilité sont des notions équivalentes dans R; avec quelques exercices pour se familiariser avec ces notions

Fonctions dérivées

Si ce paragraphe commence très classiquement avec des rappels du cours de L0, il se termine avec des résultats plus élaborés: la fameuse formule de Leibniz et toutes ses conséquences
Nous travaillons aussi, dans ce paragraphe, les fonctions trigonométriques réciproques et surtout leurs dérivées. Et le tableau classique des dérivées!! A priori, cette section ne devrait pas poser trop de difficultés
L’exposé sur les fonctions dérivées ET… Les exercices qui vont avec!!

Les formules de Taylor

Les formules de Taylor sont importantes à connaître. Ce sont les premières leçons (avec la notion de différentiabilité) sur l’approximation d’une fonction par un polynôme.
Les formules de Taylor apparaissent comme une généralisation du théorème des accroissements finis. Nous présentons aussi la formule de Taylor avec reste intégral(bien que nous n’ayions pas encore bien construit l’intégrale de Riemann; les résultats de L0 suffisent) qui utilise fortement l’intégration par parties.
L’exposé sur les formules deTaylor

Fonctions convexes

Voici une notion nouvelle, très délicate, mais très intéressante: La notion de convexité . Il est bon de commencer très tôt cette notion, puis d’y revenir lorsqu’on étudie d’autres types de fonctions. La notion de convexité est un moyen d’établir des inégalités surprenantes.
L’exposé, que je crois complet, sur les fonctions convexes; il y a des exercices qui complètent le cours

Suites de fonctions différentiables

Un seul résultat dans ce paragraphe!!….Résultat dont la démonstration demande beaucoup d’attention.
La question qui est posée est: Si une suite de fonctions différentiables converge, est-ce que la limite est dérivable et est égale à la dérivée de la limite? Et bien la réponse n’est pas si évidente!!…Il y a des résultats plus simples…
L’exposé sur les suites de fonctions différentiables

Correction des exercices proposés

  1. Un fichier qui donne des exercices complémentaires On y trouvera, en particulier la démonstration des inégalités de Hölder, de Minkowsky; en résumé, il est très intéressant de s’y coltiner
  2. 45 pages d’exercices corrigés!! Tous les exercices (sauf 1!!) sont corrigés