Après les séries numériques, les séries de fonctions
Nous continuons notre progression dans l’étude des séries.
Nous allons donc, comme pour les séries numériques, étudier les séries de fonctions, à partir des suites de fonctions que nous avons travaillées en L1. Sans être difficile, c’est un chapitre clef. Dans les études plus avancées de séries (les séries entières ou les séries de Fourier), nous allons utiliser les théorèmes fondamentaux que nous allons établir dans ce chapitre.
Premières définitions
Ce premier paragraphe expose tous les modes de convergence des séries de fonctions et nous étudions les liens entre les différents modes de convergence.
Mots clefs: Convergence normale, Convergence absolue, Convergence uniforme, Convergence simple
Le fichier des définitions et des bases des séries de fonctions
Permutations des sommes et des limites
C’est un paragraphe classique qui cherche à répondre à des questions du type: La dérivée de la somme est-elle la somme des dérivées? L’intégrale de la somme est-elle la somme des intégrales?
Ce sont des questions délicates où on s’aperçoit de l’importance de la convergence uniforme
Comme nous utilisons beaucoup de résultats sur les suites de fonctions, l’étude de ce paragraphe ne devrait pas poser trop de difficultés. Ce type de questions est très souvent posé à l’agrégation de mathématiques
Etude des permutations des différents limites (ou théorèmes de transfert pour certains auteurs)
Applications par des exercices.
Comme souvent, pour assimiler les exposés théoriques, je propose des exercices complémentaires glanés çà et là, surtout dans les questions orales des concours d’examens.
Les énoncés des exercices complémentaires
Et les corrigés de tous les exercices de ce cours
En compléments: étude de fonctions surprenantes.
Qu’est ce que j’entends par « fonctions surprenantes»?
Savez-vous qu’il y a des fonctions partout continues et nulles part dérivables? Surprenant, n’est ce pas? Ce sont, par exemple, les fonctions de Van Der Waerden ou de Weierstrass
Et puis nous étudions aussi la fonction zeta de Riemann qui, finalement, apparaît d’une simplicité enfantine!!
Etude de curiosités….importantes