L’ensemble Z des entiers relatifs
Voici un tout petit chapitre, relativement simple, sérieux pour la construction des entiers relatifs et distrayant pour la définition de la relation de congruence.
Construire l’ensemble des entiers relatifs
Les ensembles de nombres se construisent, se définissent. Ils n’ont rien de la génération spontanée. Certes, dans l’histoire de l’humanité, ils apparaissent petit à petit. En mathématiques, bâtir sur du ressenti, de l’intuitif, revient à bâtir sur du sable. Il faut donc construire rigoureusement les ensembles de nombres.
Nous n’avons pas construit N, l’ensemble des entiers…Nous ne construirons pas R, l’ensemble des réels
Nous construisons Z, l’ensemble des relatifs, pour pallier à l’absence de symétrique pour l’addition. Cette construction se fait classiquement, à l’aide d’une relation d’équivalence.
Paragraphe facile, ne posant pas trop de difficultés, mais qui mérite une attention certaine.
Première section : une construction de l’anneau des entiers relatifs Z en 11 pages
La relation de Congruence
La relation de congruence, ou de l’art d’accommoder les restes (d’une division euclidienne!).
Voilà une jolie théorie créée par l’immense mathématicien K.F. Gauss (voir, ici, sa fiche wikipedia) Ce n’est pas un paragraphe très difficile. Pour bien la comprendre, il faut, toujours, se coltiner les exercices.
Seconde section : une introduction à la théorie des congruences
Et la correction des exercices