Étude des K-espaces vectoriels
L’étude des espaces vectoriels a commencé en L0; cette étude, en L0, est celle des espaces vectoriels de dimension finie sur R. Dans ce paragraphe, c’est presque la version définitive du cours sur les espaces vectoriels sur n’importe quel corps commutatif. Certes, il est possible d’approfondir encore (espaces vectoriels euclidiens, espaces de Hilbert ou de Banach), mais, du point de vue algébrique, c’est sans doute la version ultime.
C’est la première leçon d’algèbre linéaire; il y en a encore 3 qui suivront: le calcul matriciel, les déterminants et les équations linéaires
Premières définitions, premiers exemples
Dans ce paragraphe, nous donnons la définition basique de K-espace vectoriel. et les propriétés immédiates. Le tout est suivi d’exemples importants d’espaces vectoriels que nous réutiliserons tout au long de notre progression
Le fichier d’introduction aux espaces vectoriels
Les sous-espaces vectoriels
Voici un thème classique: une structure algébrique et ses sous-ensembles qui vérifient aussi les mêmes axiômes.
Peu de nouveautés dans ce texte sinon que nous ne limitons pas aux corps habituels. C’est donc un exposé qui devrait poser peu de soucis
L’exposé sur les sous-espaces vectoriels
Plus précis, nous parlons ensuite des sous-espaces vectoriels supplémentaires. Nous en parlons de manière générale, bien plus largement qu’en L0. Dans cet exposé, nous ne parlons pas de projection ou de symétrie (fait en L0); nous nous cantonnons à la structure. Dans certains exercices, nous parlons, par contre, de projecteurs.
Les sous-espaces vectoriels supplémentaires
Les applications linéaires
Comme souvent, une fois les définitions et les premières propriétés exposées, nous nous intéressons aux relations entre ensembles de même structure; dans le cas des espaces vectoriels, ce sont les applications linéaires. C’est un outils simple et puissant que nous essaierons toujours d’approcher, notamment en analyse. Patientez!!…Nous présentons ici les résultats et définitions les plus simples!!
Les applications linéaires et leurs premières propriétés
Indépendance, Base
Nous définissons, dans ce paragraphe, la notion de famille de vecteurs indépendants (ou de famille libre) et de base. Il n’est pas question dans ce texte de dimension finie. nous exposons donc pour une dimension quelconque (donc, éventuellement infinie). Dans ce paragraphe, nous faisons le lien entre base et application linéaire. Nous proposons des exemples et des exercices
L’exposé sur l’indépendance des vecteurs et les bases d’un espace vectoriel
Parlons, maintenant de la dimension finie:
Ce fut l’objet en L0, du cours sur les espaces vectoriels. On y retrouve tous les résultats importants sur les espaces vectoriels de dimension finie sur un corps quelconque, qui n’est donc pas forcément R
Les espaces vectoriels de dimension finie
Les espaces d’applications linéaires
Petit paragraphe, certes, mais d’importance. On y parle de la structure de l’espace d’applications linéaires, de dimension des espaces d’applications linéaires, avec des exemples et des exercices importants. Il faut vraiment bien comprendre ce paragraphe.
Les espaces d’applications linéaires
Les formes linéaires
Il existe des applications linéaires bien particulières: les formes linéaires. Une forme linéaire est simplement une application linéaire d’un espace vectoriel dans son corps de base. L’étude des formes linéaires apprend beaucoup de choses et dans tous les domaines des mathématiques, depuis le calcul intégral jusqu’aux suites (ou séries) en passant par les polynômes. On portera une attention particulière à la notion de dual et de base duale
La présentation des formes linéaires et de l’espace dual
La notion de transposée est très délicate, et doit être vue et étudiée en plusieurs temps. Il ne faudra pas hésiter à revenir sur cette notion qui n’a rien d’évidente. Vous avez, sous ce lien, la présentation de la transposée d’une application linéaire
Et bien entendu, nous terminons par ce qui pourrait paraître le plus simple: les formes linéaires d’un espace vectoriel de dimension finie; on y parle d’équations d’un hyperplan. Exposé plus facile!! Vous avez, sous ce lien, l’exposé sur les formes linéaires d’espaces vectoriels de dimension finie
Autorisez nous, maintenant, à faire une petite incursion dans la théorie des équations linéaires (vraiment petite.)
La petite incursion dans les équations linéaires
Exercices complémentaires et corrigés des exercices
- Dans un premier temps, nous vous proposons une liste d’exercices complémentaires qui viennent compléter ceux présents dans le corps du cours. Ils sont divers, plus difficiles….Un joli casse-croûte, quoi!!
- Et dans un second temps, nous vous proposons la correction des exercices (46 pages!!). Presque tous les exercices sont corrigés, et ceux qui ne le sont pas, c’est qu’ils me sont apparus faciles ou encore corrigés dans le cours de L0