Le groupe orthogonal: où algèbre et géométrie font bon ménage
Ce chapitre regroupe beaucoup de choses.
Tout d’abord, nous voyons la notion du produit scalaire, pour étudier les applications linéaires qui conservent ce produit scalaire.
Comme c’est la première étape, nous nous limitons aux espaces vectoriels réels de dimension finie (c’est à dire de dimension 1, 2 ou 3) et aux formes bilinéaires symétriques à valeurs réelles.
On peut aussi voir ce cours comme une introduction à la modélisation des images et du mouvement en informatique
Qu’est ce qu’un produit scalaire? Qu’est ce qu’un espace Euclidien?
La notion de produit scalaire est une notion très importante: c’est elle qui définit l’orthogonalité; qu’est ce cela veut dire que 2 droites sont perpendiculaires??
Avec l’orthogonalité, nous définissons ce que sont les projections et les symétries. C’est une partie importante qu’il faut bien travailler
Voici le texte qui présente la notion de produit scalaire
Les applications qui conservent le produit scalaire: le groupe orthogonal
Les mathématiques sont ainsi faites: dès qu’on construit une structure, quelles sont les transformations qui conservent cette structure?
Si, dans ce paragraphe, nous faisons des considérations générales, c’est que connaître ce groupe orthogonal est très important. En L2, nous ferons un approfondissement de cette notion; pour le moment, nous n’en restons qu’aux prémices, et c’est suffisant pour entamer un cours de bonne géométrie.
Voici le texte qui introduit le groupe orthogonal
Le groupe orthogonal du plan
Première étude sur un espace particulier: le plan. Quelles sont les transformations orthogonales du plan et leur écriture matricielle?
Bien sûr, rotations et symétries. Et il y a des exercices pour tenter de mieux comprendre!!
Voici le texte qui traite du groupe orthogonal en dimension 2
Le groupe orthogonal de l’espace de dimension 3
Seconde étude sur un espace particulier: l’espace qui nous entoure et sa dimension 3. Quelles en sont les transformations orthogonales et leur écriture matricielle?
Pas aussi simple que le plan. Nous attaquons cette étude par le biais des espaces invariants.
Et il y a encore des exercices pour tenter de mieux comprendre!!
Voici le texte qui traite du groupe orthogonal en dimension 3
Des exercices complémentaires
L’objet de cette partie est d’ouvrir les questions à d’autres produits scalaires, à d’autres espaces, à d’autres transformations
Les énoncés des exercices complémentaires