L’étude générale des polynômes
Nous allons, dans cette page étudier les polynômes. Les polynômes jouent un rôle très important en mathématiques , tant en algèbre qu’en analyse; ils interviennent, par exemple, dans les problèmes d’approximation.
Le point de vue adopté ici, sera le point de vue algébrique: construction des polynômes, arithmétique des polynômes, espaces de polynômes. C’est, effectivement, une étude des polynômes dans leur généralité. A étudier attentivement.
Construction des polynômes
Tout nouvel être mathématique est créé. Bien entendu, les polynômes n’échappent pas à cette règle. Nous partons donc de l’ensemble des suites numériques nulles à partir d’un certain rang. Nous y définissons une addition, une multiplication et la notion d’indéterminée. Certes, auparavant, la notion de polynôme était intuitive (plutôt vue par le biais des fonctions polynômes). Cette base va nous permettre de mieux comprendre les polynômes et pourquoi le corps (ou l’anneau) sur lequel est construit l’ensemble des polynômes a son importance.
Voici le fichier présentant la construction des polynômes
Degré d’un polynôme, fonction polynôme
Degré d’un polynôme et fonction polynôme sont des notions déjà connées et travaillées. Bien entendu, nous rendons rigoureuses toutes ces notions plutôt intuitives. Paragraphe facile ne nécessitant pas beaucoup d’énergie.
Voici le fichier présentant le degré et les foncions polynômes
Arithmétique des polynômes
Nous arrivons là, à ce que nous appelons facilement, l’arithmétique des polynômes. C’est un très vaste sujet qui généralise notoirement tout ce que nous avons travaillé dans l’ensemble des entiers relatifs.
- Nous commençons par la division euclidienne où l’unicité n’est acquise qu’en étudiant les degrés des polynômes.
- Nous continuons par la notion de divisibilité. où nous retrouvons, bien sûr, ce que nous avons travaillé dans Z, mais aussi, nous voyons l’importance de la notion de racines
- Nous terminons (provisoirement) par la notion d’idéal principal, d’anneau principal et de PGCD de 2 polynômes.
Irréductibilité des polynômes
Qu’est ce qu’un polynôme irréductible??..Nous pouvons retrouver, dans cette notion irréductibilité des polynômes, la notion de nombre premier dans Z; les racines des polynômes ne sont pas insensibles à cette même notion. .Il y a beaucoup de réponses dans ce paragraphe.
Irréductibilité des polynômes: l’exposé
Les polynômes à coefficients réels ou complexes
Retrouvons notre pragmatisme en étudiant notre pain quotidien que sont les polynômes à coefficients réels ou complexes. Rien de bien difficile, mais ce paragraphe présente l’avantage de rappeler et de bien recadrer les notions déjà étudiées dans les années précédentes.
Le fichier présentant les polynômes à coefficients réels ou complexes
Polynôme dérivé, formule de Taylor, structure d’espace vectoriel
Gros titre, n’est ce pas? Fourre-tout? Non, enchaînement logique. Beaucoup de ces notions sont déjà connues, mais, ici, la présentation est plus fouillée et tout est utile pour mieux comprendre ce qu’est un polynôme, quelle est la structure de l’ensemble des polynômes. Important donc et intéressant, aussi (si, si!!)
Le fichier présentant la structure d’espace vectoriel de l’ensemble des polynômes, la dérivée des polynômes et la formule de Taylor pour les polynômes
Exercices complémentaires et corrigés
Comme à chaque fois, je propose des exercices complémentaires avec le corrigé de la plupart des exposés.