Un chapitre avec peu de difficultés (vraiment?)
Une petite pause dans votre travail. S’il y a des résultats délicats à appréhender, ce chapitre ne présente pas de difficultés majeures. Les fonctions complexes font souvent peur; il faut donc, pour vaincre cette peur s’y atteler. En particulier, ces fonctions holomorphes qu’on associe aux fonctions de R2 dans R….Avec des conditions de Cauchy qui nous déroutent; et l’intégration sur des chemins…. Pour moi, ce ne sont pas d’excellents souvenirs. Mais, voyez vous, en m’attachant à écrire ce chapitre, je n’ai vu aucune difficulté: joies de la maturité??
Les fonctions de R dans C
Ce paragraphe est une synthèse de tout ce qui a été travaillé en L1; il ne devrait donc poser aucune difficulté.
Les fonctions de la variable réelle à valeurs dans l’ensemble des nombres complexes
Les fonctions de C dans C
Voici un paragraphe qui ne nous apprend pas grand chose, puisque les définitions sont copiées sur celles des fonctions numériques à valeurs réelles….Limites, continuité…Rien de nouveau!!
Les fonctions de C dans C
Intégration sur un chemin
Si nous connaissons bien l’intégrale de Riemann sur R, quid d’une intégrale sur C? Si sur R, nous intégrons sur un segment, que faisons nous dans C que nous pouvons assimiler au plan et dans lequel il n’y a pas d’ordre total?
C’est dans ce contexte qu’intervient la notion de chemin, de lacet et d’intégration sur ces chemins ou lacets. La définition de cette intégrale s’appuie sur l’intégrale de Riemann dans R
L’exposé sur les intégrales curvilignes
Les fonctions holomorphes ou la dérivabilité dans le champ complexe
Finalement, ce n’est pas aussi difficile que cela….Il faut juste s’y mettre, se concentrer….C’est une notion que j’avais réellement mal assimilée….que nous retrouverons et ré-étudierons avec les fonctions analytiques (lien avec les séries entières). Nous nous poserons la question, un peu plus difficile de l’existence de primitives de fonctions complexes.
Cette notion n’est plus étudiée en L2, mais est toujours au programme de l’agrégation et mérite donc que l’on s’y attarde sérieusement!!
Les fonctions holomorphes