Et maintenant, les séries entières!!
Voici maintenant le chapitres sur les séries entières. Chapitre important, parfois difficile, mais aussi clef pour comprendre les notions de fonction analytique.De quoi aurons nous besoin? Essentiellement des notions et outils vus dans les séries numériques et les séries de fonctions, puisque les séries entières sont aussi des séries de fonctions!.
Certains résultats de ce chapitre peuvent être vus comme des exercices résolus
Commençons par commencer
Voici donc le paragraphe d’introduction aux séries entières.
Vous remarquerez que la définition ressemble à celles que nous avons données lors des séries numériques ou les séries de fonctions. Ce que nous pouvons trouver de remarquable, c’est que les sommes partielles sont des polynômes.
La vraie nouveauté, dans ce paragraphe, est la définition de rayon de convergence, et cette définition, rigoureuse, nous permettra de répondre à beaucoup de questions théoriques. Voici le fichier introduisant les séries entières. En plus, il y a déjà des exercices!!
Le rayon de convergence
Dans ce paragraphe, nous allons étudier les méthodes de calculs du rayon de convergence.
Nous étudierons les règles classiques (D’Alembert, Cauchy), nous allons étudier d’autres méthodes de calcul ou de comparaisons. Nous allons voir pourquoi le rayon de convergence d’une série est-il le plus souvent égal à 1? (enfin, pas exactement le plus souvent, mais souvent quand même!!). Avec quelques exemples, il y a aussi des exercices, mais, la plupart des exercices sont dans la partie « Exercices complémentaires »
A la recherche du rayon de convergence d’une série entière
Le développement en série entière
Dans son domaine de convergence, une série entière est égale à une fonction. Mais, réciproquement, si f est une fonction, existe-t-il une série entière qui converge vers f, dans un domaine à préciser.
Ce n’est pas une question évidente, parfois difficile de compréhension. Ce fichier tente de lever le voile sur cette question
Théorèmes de Bernstein
Quelles qualités doit avoir une fonction pour être développable en série entière. Grande question!! Les théorèmes de Bernstein donnent quelques conditions pour que des fonctions soient développables en série entière. On ne s’intéresse, ici qu’aux fonctions réelles; les fonctions complexes seront pour un autre jour!! Prenez ce paragraphe comme un bon exercice résolu. Les théorèmes de Bernstein
Équations fonctionnelles
Résoudre une équation fonctionnelle, comme les équations différentielles, par les séries entières, est un exercice intéressant, mais qui, rapidement, devient rébarbatif. Ce paragraphe ne comporte que des exercices résolus; le principe de résolution se répétant à chaque question ou problème posé.
Résolution d’équations fonctionnelles à l’aide des séries entières Et bien sûr, il y a des exercices!!
Les théorèmes taubériens
Ah!! Ces théorèmes taubériens, le régal des agrégatifs; ils interviennent dans diverses leçons d’agrégation et le jeu des futurs agrégés est de placer ces théorèmes dans le plus possible de leçons; je me suis étonné, en les lisant, de la faiblesse des préparations de ces agrégatifs . L’intérêt de ces théorèmes est d’étudier ce qui se passe au bord du domaine de convergence (Théorème d’Abel angulaire par exemple.). Ils sont très loin d’être évidents. Les 2 théorèmes taubériens (théorème taubérien faible et théorème taubérien fort) présentés ont 2 démonstration différentes. Prenez cet exposé comme un travail d’approfondissement, difficile, sans doute, mais très profitable. Les théorèmes taubériens sous ce lien
Exponentielle et trigonométrie complexe
L’objet de ce paragraphe est donc de définir l’exponentielle complexe ainsi que les lignes trigonométriques complexes. C’est ainsi que nous pouvons avoir une exponentielle négative, un cosinus extravagant, et même un logarithme qui est une fonction multiforme!! Comment tout cela est-il défini?..Bien entendu, par des séries entières….Exponentielle et trigonométrie complexe
Énoncés d’exercices et les corrigés
Bien entendu, nous trouvons, ici, et toujours, beaucoup d’exercices qui parfois ouvrent vers d’autres parties des mathématiques… Il faut les travailler!! Sous ce lien, le fichier des exercices complémentaires
Et le fichier des corrigés Comme souvent, tous les exercices ne sont pas corrigés. Seuls les plus percutants le sont: (44 pages, quand même!!)