La géométrie des espaces affines
La géométrie affine est la géométrie des points et des vecteurs. C’est aussi celle des figures: triangles, quadrilatères, réguliers ou non, polygones
Le point de vue adopté dans ce cours est celui du calcul barycentrique, très riche qui peut être utilisé dans les problèmes de lieux ou de concours de droites.
La géométrie est réellement le moment de faire des mathématiques, de raisonner, de rédiger.
Certaines définitions ou certains résultats peuvent être donnés dans un contexte de dimension quelconque. L’objet du cours de L0 étant de se familiariser avec les notions, les applications se feront donc, majoritairement, en dimension 2 (dans le plan), quelquefois en dimension 3 (dans l’espace)
Définition des espaces affines
Bien entendu, avant toute chose, il faut commencer par définir ce qu’est un espace affine, et c’est là que nous voyons que la notion d’espace vectoriel n’est pas très loin.
Mots clefs: Espace vectoriel directeur, Relation de Chasles, sous-espace affine, homothéties, translations, équations cartésiennes, équations paramétriques.
Les premières définitions sur les espaces affines
Le parallélisme
Voilà une notion peu difficile et totalement absente dans la théorie des espaces vectoriels; elle est bien spécifique des espaces affines. Ce qu’il faut retenir? C’est que 2 espaces affines sont parallèles si et seulement si ils ont le même espace vectoriel directeur
Bien entendu, il y a quelques exercices!!
Le fichier de l’exposé sur le parallélisme
Le calcul barycentrique
C’est la partie la plus importante de ce chapitre et la plus riche en applications
En physique, l’étude du mouvement des points d’un système fait intervenir différents éléments parmi lesquels les masses, positives, des points du système
En statistique, la notion de moyenne est un barycentre (un point moyen). La notion de moyenne coefficientée dans un examen, est aussi une notion de barycentre.
Cette section de la géométrie affine est donc très importante, à travailler, à assimiler.
Mots clefs: Système pondéré, barycentre, isobarycentre, associativité des barycentres, coordonnées barycentriques.
Et, pour terminer, l’exposé sur le barycentre
Les espaces affines euclidiens
Et si l’espace vectoriel directeur était muni d’un produit scalaire?
Cette section est réduite, mais étudie l’introduction du produit scalaire dans les espaces affines. Ce n’est donc pas inintéressant!! C’est ici que la notion de triangle rectangle prend tout son sens.
Mots Clefs Nous y parlons donc de norme, de distance entre deux points, d’inégalité triangulaire, d’orthogonalité
Les espaces affines euclidiens
Fonction scalaire de Leibniz
Voilà une section qu’on ne retrouvera que dans ce chapitre; elle ne pouvait arriver qu’après l’exposé sur les espaces euclidiens. Elle s’intéresse aux ensembles de points qui vérifient une relation métrique (c’est à dire liée à une distance). Ces relations sont sources de problèmes assez intéressants où nous trouvons des cercles, des droites….en y introduisant des barycentres ou des points qui ont des coordonnées barycentriques particulières.
Le plus important de cette section est de faire les exercices, de pratiquer et de visualiser les situations en faisant des figures: un schéma n’est pas une démonstration, mais, qu’est ce que ça aide!!
Les fonctions scalaires de Leibniz
Des exercices corrigés
Voici un long fichier qui donne la correction de la plupart des exercices. Long parce que j’y ai souvent introduit des schémas et que j’ai mis ces schémas de manière séquentielle, de telle sorte qu’ils soient visibles.
Bon courage dans cette lecture:
Le fichier des exercices corrigés