Arithmétique, nombres premiers
Voici un chapitre important et intéressant: un petit bout d’arithmétique. On y retrouve une (petite) étude des nombres premiers, les congruences, et de l’algèbre. L’arithmétique est un très vieux sujet en mathématiques. On y retrouve des noms d’anciens: Diophante, Euclide, Fermat, Gauss…
Sujet quand même ardu, l’arithmétique reprend de l’intérêt avec la cryptographie en informatique….Vous serez séduits par la magie des nombres, le questionnement des nombres premiers, des diviseurs, des nombres premiers.
L’arithmétique n’a rien à voir avec la numérologie, qui elle même, n’a rien à voir avec la raison… Quant à ceux qui y croient…..
Division, entiers premiers
Pas de pause; voici une belle entrée en matière: qu’est qu’un diviseur? qu’est ce qu’un nombre premier?
Ce paragraphe tente d’y répondre et propose des résultats simples qui devraient vous amener à comprendre la notion.
Combien y-a-t-il de nombres premiers? Comment sont-ils répartis dans l’ensemble des entiers? Ce sont de grandes questions que nous touchons du bout du doigt
Voici le fichier de l’exposé sur les diviseurs et le sentiers premiers
Le PGCD
Dans le paragraphe précédent, nous avons parlé de diviseurs. Mais que sont les diviseurs communs à 2 nombres?? Que sont 2 entiers premiers entre eux?
Nous parlons dans ce paragraphe, d’idéal d’un anneau, d’identité de Bachet-Bezout (et non pas de bachi-bouzouk comme dirait le capitaine Haddock). Autre thème important abordé:le lemme de Gauss et la décomposition de tout nombre en un produit de facteurs premiers
Voici le fichier de l’exposé sur le PGCD, les entiers premiers entre eux et leurs propriétés
Quelques équations diophantiennes
Ce n’est pas le tout de prouver l’existence du PGCD, encore faut-il pouvoir le calculer!! L’objet de ce paragraphe est de vous donner, à partir de la division euclidienne, un algorithme de calcul. On prolonge cet algorithme par la résolution d’équations diophantiennes simples, avec, pour certaines, un autre algorithme.
C’est quoi une équation diophantienne? C’est une équation dont les inconnues sont des nombres entiers. Si vous voulez en savoir plus sur les équations diophantiennes, lisez cet article de Wikipédia qui vous fera faire un tour d’horizon de la question.
Voici le fichier de l’exposé sur les équations diophantiennes et l’algorithme de recherche du PGCD
Le PPCM
Voici un paragraphe bien moins sexy!! Mais, on y parle d’intersection d’idéaux et de petit lemme chinois. A découvrir, et surtout, à travailler!!
Voici le fichier de l’exposé sur le PPCM; il ne pose pas beaucoup de difficultés
Fermat, Wilson
Alors, là, nous terminons en beauté!!
Il y a, dans ce paragraphe, beaucoup de résultats, de subtilités, qui pourront être utiles ensuite, dans diverses branches des mathématiques. Il faut donc bien le travailler, et bien le comprendre
Fermat, Wilson….Comprenez tous les résultats de ce fichier, et vous serez en état de grâce.. Si, Si!!
La correction des exercices
Oh, ben là, vous avez de la chance: les exercices proposés sont corrigés!!!………Enfin, les plus difficiles!!…Mais, ça fait 25 pages!!