Entiers naturels, récurrence
Voilà un chapitre important!! Tout d’abord, nous définissons de manière axiomatique l’ensemble des entiers naturels, puis nous fonçons vers le raisonnement par récurrence et plusieurs considérations sur les ensembles finis. Et nous terminons par la numération, la division euclidienne
Les entiers naturels
Il existe des constructions de l’ensemble des entiers naturels; en L0, est-elle utile? Je ne suis pas sûr qu’elle apporte beaucoup de choses et que présenter cette construction soit pertinent à ce niveau. J’ai donc préféré définir de manière axiomatique les entiers naturels: nous dirons donc que ces entiers existent, et voilà leurs propriétés. C’est un tout petit paragraphe qui contient, certes, quelques résultats intéressants (en particulier qu’il n’existe pas d’entier entre 0 et 1), mais qui ne devrait pas vous mettre en difficulté. Voici le fichier introduisant aux entiers naturels
Le raisonnement par récurrence
Voilà une partie important de ce chapitre (La plus importante?): elle décrit et décortique les mécanismes du raisonnement par récurrence. Contrairement à ce qui est fait en lycée, je ne me contente pas d’énoncer les principes de ce raisonnement. En prouvant les théorèmes de Péano, je démontre la validité de ce mode de raisonnement. Hélas, et c’est incompréhensible, ce mode de raisonnement déconcerte souvent les étudiants. Il ne faut donc pas hésiter à passer du temps sur le cours et les exercices. Voici l’exposé sur le raisonnement par récurrence; vous y trouverez le cours et une liste d’exercices classiques et percutants!
La notion d’ensemble fini
Qu’est ce qu’un ensemble fini?…Bonne question!! Ici, on définit la notion d’ensemble fini, la notion de cardinal d’un ensemble fini…Avec des propriétés que nous retrouverons dans la théorie de la mesure et des probabilités….Accessoirement, on définit l’équipotence (qui n’a rien à voir avec la pendaison des chevaux!!) Le petit exposé sur les ensembles finis
Applications entre ensembles finis
Après avoir défini les ensembles finis, nous nous intéressons aux applications entre ensembles finis (injections, surjections, bijections). Ce paragraphe est très important, car il est très utile au dénombrement. Le bon modèle pour dénombrer un ensemble est le modèle des applications entre ensembles finis ou de sous-ensembles d’un ensemble. Dénombrer un ensemble, c’est compter le nombre d’éléments d’un ensemble Mots clefs: Nombre d’applications, nombres d’injections, arrangements, combinaisons, nombre de sous-ensembles à p éléments, coefficients binomiaux
Les applications entre ensembles finis (Utiles pour le dénombrement)
Division, numération
Pour terminer, nous étudions la division dans N, puis nous basculons vers la numération. Nous étudions en particulier la notion de base de numération. Si nous présentons, ici, toutes les bases de numération, il est connu que les bases les plus utilisées sont la base 10, pour la vie de tous les jours, et pour les informaticiens, les bases 2, 8 et 16
Division, bases de numération: le fichier du cours
Des exercices corrigés
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