Introduction aux séries trigonométriques et aux séries de Fourier
Nous clôturons ce cours de L2 sur les séries en parlant des séries de Fourier et des séries trigonométriques.
Nous étudierons ces séries dans le cadre restreint du cours de L2…Nous retrouverons ces notions dans un cours d’analyse du signal. C’est bien une introduction que je propose ici. Nous sommes toujours ébahis par l’approximation, par des polynômes trigonométriques d’une fonction, certes périodique, mais qui peut ne pas être continue.
Les séries trigonométriques
Dans ce premier paragraphe, nous présentons ce que sont les séries trigonométriques. C’est quelque part, une étude d’une série de fonctions particulière. Nous y retrouvons le même vocabulaire sur la convergence (uniforme, normale). Une première étude donc, tout ce qu’il y a de plus classique
Voici le cours sur les séries trigonométriques
Les polynômes trigonométriques
Voilà de la nouveauté!! Et c’est une nouveauté intéressante puisqu’elle s’appuie sur le modèle géométrique: notion de produit scalaire, base orthonormée, projection orthogonale, norme associée. Cette vision de l’analyse est intéressante et mérite toute votre attention. C’est la base de la notion d’approximation, c’est une introduction, sans le dire, aux espaces de Hilbert. Bref, un joli paragraphe!
Voici l’exposé sur les polynômes trigonométriques
Les séries de Fourier
C’est la clef de de l’exposé que je vous présente ici. En plus, nous travaillons sur l’espace des fonctions continues par morceaux, nous touchons du doigt les normes (ou distances) au sens des moins carrés. Autre chose, nous mettons en application l’aspect géométrique vu dans les polynômes trigonométriques. A travailler, donc. Voici l’exposé sur les séries de Fourier
Le théorème de Fejer
Nous arrivons, ici, et sans le dire, dans des résultats de densité d’un espace de fonctions dans un autre. Le théorème de Féjèr est appelé aussi théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique, c’est à dire que toute fonction continue peut être approchée uniformément par un polynôme trigonométrique. Ce résultat est faux si la fonction est seulement continue par morceaux: elle ne peut être approchée par un polynôme trigonométrique qu’au sens de la norme des moindres carrés….Aë,aïe….Dans ce paragraphe, nous étudions aussi les noyaux de Dirichlet et Féjer….A voir comme exercice résolu
Les noyaux de Dirichlet, de Féjer et les théorèmes d’approximation
Approximation en moyenne quadratique
La norme 2, ou encore norme au sens des moindres carrés joue donc un rôle essentiel. Dans ce paragraphe, nous donnons les résultats principaux et parfois fort utiles dans le calcul des séries.
Mots clefs: Egalité de Parseval, Inégalité de Bessel
L’approximation en moyenne quadratique: Egalité de Parseval, Inégalité de Bessel
Le théorème de Dirichlet
C’est un théorème important qui donne des résultats de convergence simple. Il faut surtout bien étudier les exemples et applications et, surtout, s’intéresser au phénomène de Gibbs.
Convergence ponctuelle: le théorème de Dirichlet