Qu’est ce qu’un espace vectoriel?
La visualisation géométrique joue un rôle important en mathématiques. En fait, en mathématiques tout est vecteur, depuis le vecteur de la géométrie, jusqu’aux fonctions, en passant par les polynômes. Cette visualisation géométrique se retrouve dans les problèmes d’approximation en analyse du signal par exemple ou en compréhension des équations différentielles.
Si ce chapitre est dans la partie algèbre, c’est nous nous intéressons plus à la structure qu’aux applications qui seront vues ultérieurement: il faut toujours commencer par les fondations!!
Nous nous intéresserons, dans ce cours, essentiellement aux espaces vectoriels réels de dimension finie
Définition de la structure d’espace vectoriel
On donne, ici, la définition axiomatique de la notion d’espace vectoriel; elle est importante. Dans le même cours, nous parlons de sous-espace vectoriel. La plupart du temps, pour démontrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, nous démontrerons que c’est un sous-espace vectoriel d’un autre ensemble encore plus grand.
Une autre partie de cette section sera de savoir calculer dans Rn
Voici le texte d’introduction aux espaces vectoriels
Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés
Qu’est ce qu’une combinaison linéaire?? Comment définir le plus simplement possible un sous-espace vectoriel? Notions pas toujours faciles!!!…….Ce paragraphe essaie d’y répondre, et surtout, ce seront les exercices à résoudre qui vous aideront à comprendre la notion
L’exposé sur les combinaisons linéaires
Famille génératrice, famille libre
Combinaisons linéaires, définitions de sous-espaces vectoriels. Combien faut-il de vecteurs pour définir un sous-espace vectoriel? Ce paragraphe n’y répond pas…Mais il représente une progression par rapport au paragraphe précédent
Qu’est ce qu’une famille génératrice? Qu’est ce qu’une famille libre?
Base et dimension
Et nous concluons ce cours par 2 notions TRÈS IMPORTANTES que sont les notions de base et de dimension.
Avec ces deux notions, nous définissons très clairement ce qu’est un espace vectoriel de dimension finie sur R. L’étude des espaces vectoriels n’est pas finie. Nous reviendrons sur cette notion en L1
Bases et dimension….A travailler de manière très approfondie
Cent fois sur le métier, remets ton ouvrage: des exercices complémentaires
Comme son nom l’indique, voici des exercices complémentaires qu’il faut faire et sans doute refaire. Il ne comporte, volontairement, aucun exercice théorique, mais beaucoup d’exercices numériques, l’objectif étant de se familiariser avec la notion d’espace vectoriel… Bon travail!!
Le fichier des énoncés