Le corps des nombres complexes
Les nombres complexes forment chapitre très important du cours de L0. L’un des objectifs de ce chapitre est de savoir manipuler les nombres complexes comme nous manipulons les nombres réels. Si les réels forment une droite (c’est la représentation liée à la relation d’ordre total), les nombres complexes forment un plan. C’est la représentation qu’il faut toujours avoir à l’esprit
On retrouve aussi les nombres complexes dans le domaine de l’analyse; cette étude se fera enL2
Presque chacune de ces parties contient une liste d’exercices; un dernier fichier donne des exercices complémentaires, plus sophistiqués
Un dernier fichier donne le corrigé des exercices les plus importants
Une construction des nombres complexes
Il y a de multiples façons de construire les nombres complexes; certaines sont très simplistes (à partir de R2), d’autres plus difficiles (à partir de quotients de polynômes)
Celle choisie ici, est faite à partir des matrices 2×2 à coefficients réels; elle est très proche de la géométrie et il y a un très fort lien entre les complexes et la géométrie
Une construction des nombres complexes: l’exposé
Nombres complexes et géométrie
Nous faisons ici l’identification des nombres complexes au plan; il faut toujours avoir cette représentation en tête lorsque vous manipulez les nombres complexes.
Mots clefs: Affixe d’un point, affixe d’un vecteur, conjugué, module
Plan géométrique et nombres complexes
Le second degré dans les nombres complexes
Ce qui est fascinant dans les nombres complexes, c’est que tous les nombres (dont les réels négatifs) ont une racine carrée, que toutes les équations du second degré ont des racines (dont les fameuses racines doubles). L’objet de ce paragraphe est d’étudier ce phénomène. Mieux (mais hors de propos de ce cours), d’après le théorème de D’Alembert, tous les polynômes de degré n ont exactement n racines.
Le second degré dans C
Forme trigonométrique des nombres complexes
Quelque part, ce paragraphe est un prolongement du paragraphe Nombres complexes et géométrie où nous considérons, plutôt que les coordonnées cartésiennes, les coordonnées polaires.
Mots clefs:Argument d’un nombre complexe, Formule de De Moivre, Racines nième d’un nombre complexe
Forme trigonométrique des nombres complexes
L’exponentielle complexe
Nous prenons, dans ce cours, le parti de définir l’exponentielle complexe comme une notation supplémentaire; cependant, l’exponentielle complexe est bien définie! Nous la retravaillerons dans le cours de L2
L’exponentielle complexe
Des exercices complémentaires
Voici des exercices qui viennent en complément de ceux que vous avez pu trouver dans les exposés
Des exercices en plus
Correction des exercices
Voici la correction de la plupart des exercices. Il faut les retravailler. J’ai essayé de les rédiger le plus complètement possible