Étude des séries numériques
L’étude des séries est très proches de celle des suites. Les outils sur les suites sont d’une extrême utilité pour traiter le comportement des séries.
Il faut avouer qu’étudier le comportement de sommes d’éléments de plus en plus petits a de quoi perturber les esprits, d’autant que ces séries ont le toupet de diverger vers l’infini!!. Je parle d’expérience!!
C’est un enseignement traditionnel de seconde année qui doit être très bien assimilé. Nécessaire pour les candidats au CAPES.
Des textes annexes sur « ce que c’est que sommer», en fait sur le regroupement des termes est proposé en annexe.
Introduction aux séries
Dans cette première partie, il n’y a rien qui soit difficile. On y définit ce qu’est une série, et nous en explorons les premières propriétés avec des outils rudimentaire de L0
Nous y explorons les premiers exemples, avec quelques exercices en illustration
Le texte de ce premier paragraphe d’introduction
Critères de convergence
Dans ce paragraphe, tous les critères de convergence ne seront pas étudiés. Nous y voyons les critères de base, la notion nouvelle d’absolue convergence (qu’on ne retrouve pas dans les suites)
On commence à parler de produit de séries, qui est une notion complexe, à plusieurs visages. Ce sera le produit convolé qui est vu ici. D’autres produits seront vus dans les annexes
Premiers critères de convergence, convergence absolue, séries complexes, produit convolé
Règles de d’Alembert et de Cauchy
Heureusement qu’il existe des critères simples qui nous permettent de démontrer qu’une série est convergente ou non. Ces méthodes sont faillibles et peuvent être mises en défaut. Beaucoup d’exercices sont donnés pour maîtriser ces règles
L’exposé des règles de D’Alembert et de Cauchy
Équivalence et comparaison à une intégrale
Voici d’autres outils pour décider si une série est convergente ou non: les équivalences des termes généraux et la comparaison à une intégrale. Ce paragraphe nécessite de connaître les intégrales généralisées. On y étudie aussi l’équivalence des sommes ou des restes des séries
L’exposé sur les termes généraux équivalents et les comparaisons à une intégrale
Les séries alternées
Ah!! Les séries alternées font partie des marronniers des cours sur les séries numériques réelles. Ce ne sont en fait que des cas particuliers de séries qui vérifient le critère d’Abel, et ce critère nous permet de démontrer des convergences de séries peu commodes, en particulier de séries complexes
Les séries alternées et le critère d’Abel
Exercices complémentaires
100 fois sur l’établi, remets ton ouvrage; il faut pénétrer dans la tanière du lion pour mieux le comprendre
Voici la liste des exercices complémentaires pour mieux comprendre le fonctionnement des séries (32 exercices, quand même!!)