De l’importance des applications linéaires
La linéarité est la chose la plus simple en mathématiques: c’est la proportionnalité des nombres réels (la règle de trois), l’approximation en mathématiques appliquées, la résolution d’équations. D’autre part, après avoir étudié les espaces vectoriels sur R, il est important d’étudier les relations entre ces espaces vectoriels. Une autre application importante de ce chapitre, est la géométrie. Les concepts géométriques, même utilisés en analyse, permettent de visualiser les problèmes. Il est donc essentiel de maîtriser ce chapitre Bon travail!!
Définitions et premières propriétés
C’est un long paragraphe où nous donnons les définitions et les propriétés de base. Nous parlons aussi d’opérations sur les applications linéaires (Additions, multiplication, composition) et d’ensembles d’applications linéaires. Ne posant aucune difficulté, ces définitions sont données dans un espace de dimension quelconque.
Le fichier présentant les premières définitions
Applications linéaires et bases
Dans un espace vectoriel de dimension finie, quel est l’impact d’une application linéaire sur les bases? Ou encore, connaissant une base et quelques vecteurs, est-il possible de définir une application linéaire??
Des idées sur les effets des applications linéaires sur une base
Noyau et image d’une application linéaire
Très important!! On y parle d’ensemble image, d’ensemble réciproque…. Voici 2 ensembles absolument essentiels dans l’étude des applications linéaires
Rang d’une application linéaire, isomorphismes
En dimension finie, il est intéressant de connaître la dimension de l’image d’un espace vectoriel par une application linéaire, de caractériser ce que sont des applications linéaires injectives, surjectives ou bijectives. Un résultat très important est le théorème du rang qui sera très souvent utilisé Définition du rang d’une application linéaire, d’un isomorphisme
Matrices et applications linéaires
Voici un paragraphe d’une importance cruciale en dimension finie: les matrices d’applications linéaires
En dimension finie, parler de matrices ou d’applications linéaires est la même chose; un bémol cependant, puisqu’une matrice dépend de la base choisie. Une étude reliant bases et matrices sera faite dans le paragraphe suivant
Matrices et applications linéaires (et réciproquement!!)
Opérations sur les matrices
Quel lien existe-t-il entre les opérations sur les applications linéaires et les opérations sur les matrices? On démontre, dans ce paragraphe, que si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, munis de bases choisies, l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F est isomorphe à l’espace vectoriel des matrices de taille dim F x dim E (En gros, cela veut dire que c’est la même chose!!)
Voici donc le fichier sur les opérations sur les matrices
Changement de bases
Donc, l’expression d’une matrice dépend des bases choisies. Et si nous changeons de base, que se passe-t-il? Clairement, les matrices sont différentes. Quel est le lien alors entre ces deux matrices, vu qu’elles représentent la même application linéaire??…Pas simple, prise de tête, n’est ce pas?…C’est l’étude de la similitude des matrices que nous étudierons plus tard
Alors, voilà un énoncé élémentaire sur les changement de base et les conséquences sur les matrices
Exercices
Petite pause dans les notions vues. Consolidation par des exercices.
Pour consolider vos connaissances, les énoncés des exercices
Projections et Symétries
Parmi les applications linéaires, il en existe deux qui méritent d’être étudiées de manière plus précise. Sont-elles les plus importantes??………Nous en verrons d’autres en géométrie. Nous étudions ici, les projections et les symétries dans leur aspect le plus général; en géométrie, nous étudierons les cas particulier que sont les projections et symétries orthogonales.
Etude des projections et des symétries (Avec des exercices!!)
Problèmes de synthèse
Et pour terminer, quelques problèmes qui mélangent toutes les notions vues dans ce chapitre
Nous toucherons du doigt, sans en faire une étude exhaustive, seulement en dimension 2, les notions de valeur propre, notions qui seront étudiées en L2