Les formes bilinéaires et les formes quadratiques
C’est un chapitre de grande importance, tant pour l’algèbre, la géométrie ou l’arithmétique (voir J.P. Serre). On retrouve aussi cette partie dans beaucoup de leçons d’agrégation.
Pour ma part, j’ai préféré m’en tenir à une vision géométrique avec quelques incursions dans une vision algébrique.
Définition des formes bilinéaires
Vous trouverez, dans ce paragraphe, 2 sections: une première section qui donnera les définitions et propriétés générales et une seconde section qui vous parle des formes bilinéaires dans les espaces de dimension finie. Dans cette dernière, nous vous parlons de matrices et d’expression matricielle d’une forme bilinéaire.
Pour commencer, les définitions, exemples et propriétés générales des formes bilinéaires
Et continuons dans la dimension finie….
Formes quadratiques
Les voici ces fameuses formes quadratiques!! Elles sont définies à partir d’une forme bilinéaire quelconque, et ont une accointance particulière pour les formes bilinéaires symétriques. Exposé peu difficile, mais des exercices où il faut montrer beaucoup d’agilité calculatoire.
L’exposé sur les formes quadratiques
Orthogonalité
Nous présentons, ici, une généralisation de la notion d’orthogonalité que tous nous avons étudié dans la géométrie élémentaire (présentée dans le cours de L0). Ici, c’est une généralisation de cette notion que nous présentons: l’orthogonalité liée à une forme bilinéaire symétrique.
Que sont 2 vecteurs orthogonaux? C’est quoi le noyau d’une forme bilinéaire symétrique?
Mots-clefs: orthogonalité, noyau d’une forme bilinéaire, vecteurs et espaces isotropes, forme dégénérée,
Bases orthogonales
Paragraphe où nous redéfinissons l’orthogonalité; cette fois-ci l’orthogonalité sera relative à une forme bilinéaire; paragraphe où nous redéfinissons une base orthonormée et où nous discutons de l’existence de telles bases.
L’étude des bases orthogonales et de leur existence dans le cas général
L’étude des bases orthogonales dans le cas des espaces vectoriels réels (avec les inégalités de Schwarz et Minkowski)
Adjoint d’un endomorphisme
L’outil « adjoint d’un endomorphisme » est d’une très grande importance, surtout dans le prochain paragraphe où nous étudierons les formes hermitiennes. Il est donc essentiel de se plonger dans le texte qui suit pour aller plus loin dans le prochain chapitre.
L’exposé sur les adjoints d’endomorphismes
Le groupe orthogonal
Nous avons vu que les applications linéaires qui conservent le produit scalaire forment un groupe appelé « groupe orthogonal ». Que devient ce groupe orthogonal lorsque un semblant de produit scalaire est défini par une forme linéaire symétrique? Ce paragraphe tente d’y répondre et fait le lien avec l’endomorphisme adjoint. Une étude plus précise sera faite dans le chapitre suivant.
L’étude du groupe orthogonal
Endomorphismes et matrices symétriques
Qu’est ce qu’un endomorphisme symétrique?? Quel sera le lien avec les matrices dans les espaces de dimension finie??
Un exposé sur les endomorphismes et les matrices symétriques
Et maintenant les exercices!!
Il n’est pas possible de faire des mathématiques sans se frotter à des questions plus ou moins difficiles.
Tout d’abord des exercices en complément de ceux que que vous trouvez dans le cours
Et les corrigés!!(corrigé des exercices du cours et des exercices venant en complément du cours)