Différentiabilité

Pourquoi étudier la différentiabilité?

Vous êtes-vous déjà demandé comment une intelligence artificielle apprend à reconnaître une image, ou comment un ingénieur optimise l’aérodynamisme d’une voiture ? La réponse se trouve au cœur du calcul différentiel dans Rⁿ.
Loin d’être une simple série d’équations abstraites, l’étude des fonctions à plusieurs variables repose sur l’idée de simplifier la complexité. Notre monde physique est chaotique, courbé et non linéaire. Pourtant, si l’on zoome suffisamment près d’un point, n’importe quelle surface finit par ressembler à un plan plat. C’est le super-pouvoir de l’approximation linéaire.
En maîtrisant les dérivées partielles ou la matrice jacobienne, vous n’allez pas seulement valider vos examens, vous allez acquérir la boîte à outils fondamentale pour modéliser des systèmes physiques complexes. Prêts à plonger dans la mécanique du monde réel ?

Les dérivées partielles

Commençons par étudier les dérivées partielles. C’est ce qu’il y a de plus simple et de plus proche de ce que vous avez déjà étudié en L₁. Première approche donc de la différentiabilité des fonctions à n variables.
Mots clefs: Dérivée partielle, dérivée directionnelle
Voici le fichier sur le cours sur les dérivées partielles

Fonctions différentiables

L’étude des fonctions différentiables commence par l’étude de la différentiabilité des fonctions de Rⁿ dans R. C’est la base de notre étude
Ensuite, nous généralisons à l’étude des fonctions de Rⁿ dans R^p, la base étant l’étude des fonctions à valeurs réelles.
La différentiabilité des fonctions de Rⁿ dans R
La différentiabilité des fonctions de Rⁿ dans R^p

Théorème de Schwarz

Ce paragraphe étudie les dérivées partielles d’ordre supérieur à 1; enfin, pas énormément loin: les dérivées secondes.
Le théorème de Schwarz

Accroissements finis

Le but de la différentielle df_a​ est d’approcher ce véritable accroissement Δf par un accroissement linéaire (beaucoup plus simple à calculer), avec un reste qui tend très vite vers zéro . C’est ce que nous avons étudié jusqu’ici. Le grand piège du Théorème des Accroissements Finis (TAF) est le point critique de cette section. Nous connaissons tous l’égalité des accroissements finis en dimension 1. En dimension supérieure, l’égalité est fausse. La vraie star est l’Inégalité des Accroissements Finis. Puisque l’égalité échoue pour les vecteurs, nous l’avons remplacée remplacée par une inégalité. C’est elle qui sert dans la plupart des démonstrations et des exercices d’analyse.
Étude des accroissements finis pour des fonctions de Rⁿ dans R^p

Extrema

Une (très) rapide étude de la notion d’extremum, volontairement peu développée
Mots clefs: extremum, point critique

Exercices pour aller plus loin

Comme toujours, je vous propose des exercices pour accompagner ou approfondir le cours.
La liste d’exercices de travaux dirigés
Et le corrigé de la plupart des exercices