Les formes hermitiennes
Les formes hermitiennes constituent la suite logique de l’exposé sur les formes bilinéaires. La tradition des cours de L2 veut que nous en faisions 2 chapitres différents. Je m’y suis conformé.
Vous verrez, à l’étude, que c’est discutable, puisque les formes hermitiennes sont, dans le domaine réel, des formes bilinéaires symétriques.
Cependant, si certaines têtes de chapitre sont semblables, pour l’étude ultérieure des espaces de Hilbert, c’est bien ces formes hermitiennes qu’il faut étudier
Premières définitions
Dans ce paragraphe, nous commençons à mettre en place les premières définitions et les premières propriétés de ces formes hermitiennes. Remarquez que nous sommes dans le domaine complexe et que nous devons en tenir compte dans notre étude
Premières définitions et premières propriétés
Orthogonalité
Nous faisons un retour sur la définition d’orthogonalité dans le cadre, cette fois-ci des formes hermitiennes. Tout petit paragraphe, nécessaire dans le contexte des formes hermitiennes.
L’orthogonalité dans le cadre des formes hermitiennes
Formes sesquilinéaires positives
Ce paragraphe est une première marche vers le produit scalaire. La positivité nous autorise à parler d’inégalité de Schwarz et de Minkowski.
Le cours sur les formes sesquilinéaires positives
Le produit scalaire
Nous nous plaçons dans espaces vectoriels complexes; nous touchons du doigt les espaces de fonctions, de suites, etc…En munissant un espace vectoriel complexe d’un produit scalaire, nous en faisons un espace préhilbertien….Nous retrouverons le théorème de Pythagore, la notion de norme et un zeste d’analyse
Le cours sur la définition du produit scalaire
Le produit scalaire dans les espaces vectoriels de dimension finie, texte où on parle encore de matrice
Adjoint
Nous revenons sur la notion d’adjoint d’un endomorphisme, mais, cette fois-ci dans le cadre d’un espace préhilbertien. Nous approfondissons donc cette notion. Nous faisons aussi une incursion dans les espaces de dimension finie.
La notion d’adjoint d’un endomorphisme dans le cadre des espaces préhilbertiens
Le groupe unitaire
Le groupe unitaire est, dans les espaces vectoriels complexes munis d’un produit scalaire hermitien, l’analogue du groupe orthogonal tel que nous le connaissons déjà. L’étude des matrices d’endomorphismes unitaires dans les espaces de dimension finie est d’un intérêt pour la structure des ensembles de matrices
Le cours sur le groupe unitaire dans le cadre des espaces préhilbertiens
Les endomorphismes hermitiens
Et nous terminons par les endomorphismes hermitiens.
Ce qu’il y a d’important dans ce paragraphe, c’est aussi de savoir ce que sont des matrices hermitiennes, leur structure et leur comportement.
Le cours sur les endomorphismes hermitiens dans les espaces préhilbertiens
Des exercices en plus et la correction des questions proposées
Dans ce paragraphe, vous trouvez des exercices à rédiger, qui peuvent s’avérer être des compléments au cours.
Des exercices et des problèmes à résoudre
Le corrigé de presque tous les exercices