Parler de la topologie des espaces vectoriels de dimension finie, c’est parler de la topologie des Rn . Dans ce cours, nous définirons une norme sur un espace vectoriel, la topologie induite par cette norme et, plus généralement, de la topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie, quasi principalement. Nous toucherons du doigt l’équivalence des normes et des distances et étudierons la notion de compacité.
Espaces vectoriels normés
Dans cette section, nous allons définir ce qu’est la norme dans un espace vectoriel quelconque, de dimension finie ou non. Une fois la norme définie et quelques propriétés exposées dont l’équivalence, nous étudions, et de manière très approfondie, les normes classiques dans les espaces vectoriels de dimension finie
Voici le fichier parlant de norme, d’espaces vectoriels normés et d’exemples de normes
Distances, espaces métriques
Nous continuons notre exposé en parlant de la notion de distance. Il y a un fort lien entre norme et distance et ce lien sera vite fait. Nous définissons ouvert, fermé, distance d’un point à un ensemble. Section importante!!
Voici l’exposé sur les distances, les espaces munis de distances que sont les espaces métriques
Les suites dans les espaces vectoriels de dimension finie
Faisons, maintenant, un retour sur les suites. Nous revisitons cette notion, mais, cette fois ci, dans les espaces vectoriels de dimension finie: révisions et approfondissement.
Les suites dans les espaces de dimension finie: révisions et approfondissement
Vocabulaire dans un espace métrique
Il y a tout un vocabulaire à connaître lorsque nous voulons étudier les espaces métriques: ensemble borné, point d’accumulation, point adhérent, intérieur. Tout un vocabulaire à connaître. En passant, nous démontrons le théorème de Bolzano-Weierstrass.
En suivant ce lien, vous avez le fichier sur le vocabulaire dans un espace métrique
Les espaces compacts
La compacité joue un rôle important en analyse car elle permet de transposer des propriétés des espaces finis aux espaces infinis. Il y a deux façons de définir les compacts: la première par la propriété de Borel-Lebesgue qui utilise les recouvrements, et la seconde par la propriété de Bolzano-Weierstrass qui utilise les suites (définition séquentielle). Nous démontrons que ces 2 propriétés sont équivalentes.
L’exposé (important), sur les espaces compacts