Pourquoi l’analyse numérique?
Il n’est pas question, dans ce chapitre, de faire de vous des spécialistes de l’analyse numérique. L’analyse numérique est une vraie matière mathématique. L’objet de ce chapitre est de vous donner une notion de ce qu’est l’analyse numérique et d’utiliser l’outil informatique pour les différentes applications. J’aurais pu présenter ces algorithmes lors des chapitres dédiés (continuité, calcul intégral). Regroupés ici, ce chapitre se veut une approche de l’introduction de l’informatique dans l’enseignement des mathématiques.
Petite histoire de l’analyse numérique
L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisation quotidienne que nous connaissons aujourd’hui. Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver des moyens rapides et efficaces de s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à résoudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence. Les premières approximations de PI, en sont des exemples
Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son envol et continue encore à se développer de façon très soutenue.
Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne directement ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour en arriver là.
Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,…et ce n’est qu’une infime partie de ce que l’on peut faire.
Le but de ce cours et s’initier aux bases de l’analyse numérique en espérant qu’elles éveillent votre intérêt, votre curiosité
A quoi sert l’analyse numérique?
Dans ce paragraphe d’introduction, nous explorons ce qu’est l’analyse numérique et reprenons notre étude de ce qu’est un nombre dans un ordinateur, une fonction dans un ordinateur. Nous terminons par une étude des erreurs commises dans ces calculs informatiques et la provenance de ces erreurs.
Présentation de l’analyse numérique et des possibilités d’erreurs
Les modes de résolution d’équation
Il y a plusieurs types d’équations à résoudre en analyse; souvent, en analyse, on conclue à l’existence de solutions sans pouvoir les calculer explicitement.
L’analyse numérique propose des outils pour approcher ces solutions.
Dans ce cours nous ne nous intéressons qu’aux fonctions mettant en œuvre une variable réelle.
La méthode de Dichotomie
La dichotomie consiste à toujours diviser en deux; ici, nous divisons en 2 un intervalle pour nous rapprocher petit à petit de la solution. Cette méthode est très rapide et nous permet d’être aussi proche que nous le souhaitons de la solution, avec toujours une marge d’erreur que nous savons évaluer.
Résoudre des équations dans l’ensemble des nombres réels
Méthode de Newton et du point fixe
Nous faisons, dans ce paragraphe, un exposé sur les méthodes de point fixe et de Newton. La méthode de Newton est une méthode de point fixe, nous le démontrons dans l’exposé. Dans ce cours, il y a des rappels de L0 et bien entendu de L1.
Voici un exposé sur les méthodes de point fixe et de Newton
Quelques problèmes
Approximation d’intégrales
L’approximation d’une intégrale a déjà été travaillée: nous avons déjà abordé l’approximation par la méthode des rectangles. Je propose, dans ce paragraphe, un script Python d’approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles.
Mais nous allons plus loin en proposant 2 autres méthodes: la méthode des trapèzes et la méthode Simpson (nous en évaluons aussi les erreurs et la rapidité de convergence)
Nous devons remarquer qu’à chaque fois, ce sont de approximations polynomiales: de degré 0 pour la méthode des rectangles, de degré 1 pour les trapèzes et de degré 2 pour la méthode de Simpson.
L’approximation des intégrales
Approximation polynomiale
Le précédent paragraphe sur l’approximation des intégrales montre l’importance de l’approximation polynomiale. L’approximation polynomiale ne se résume pas à l’intégration; elle aussi utilisée en physique pour régulariser des mesures expérimentales (courbes de Bézier, fonctions splines)
Nous présentons ici, 2 modes d’approximation polynomiale: les polynômes de Lagrange et les polynômes de Tschebicheff
Polynômes de Lagrange
Les polynômes de Lagrange sont des polynômes d’approximation d’une fonction f dont on ne connaît que quelques points de passage. Nous verrons, en plus, qu’une famille de polynôme de Lagrange forme une base de l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Le fichier de présentation des polynômes de Lagrange (et l’erreur d’interpolation!!)
Polynômes de Tschebichev
Dans ce paragraphe, nous étudions les polynômes de Tschebicheff qui, vraiment, à première vue, semblent surprenants. Ces polynômes valent surtout pour la présentation des points de Tschebicheff qui conduisent à une meilleure approximation polynomiale.
Aventurez vous à étudier les polynômes de Tschebicheff (que nous retrouvons dans beaucoup d’énoncés de concours)
Correction de quelques exercices
Une conclusion
Il faut comprendre que c’est un cours d’initiation. D’autres sujets auraient pu être abordés: les fonctions splines, l’approximation au sens des moindres carrés, la résolution des équations différentielles. Ces sujets, peut-être plus ardus, pourraient être étudiés plus tard.
L’analyse numérique est très vaste, est le sujet de nombreux ouvrages.