Simplifier le calcul matriciel
Voilà un chapitre classique que nous retrouvons dans presque tous les programmes d’une seconde année scientifique. Ce chapitre est souvent vu sous l’angle des valeurs propres et des vecteurs propres. L’intérêt de ce chapitre est la simplification du calcul matriciel et l’étude de phénomènes plus ou moins linéaires.
C’est un chapitre important, de grand intérêt
Similitude des matrices
Dans ce paragraphe, En plus de donner la motivation du chapitre, nous allons parler de matrices semblables et des conservations des propriétés par similitude. La similitude des matrices nous accompagnera durant tout ce cours
Introduction au cours et similitude des matrices
Vecteurs propres, Valeurs propres
On commence par le plus simple: d’abord, la définition de valeur propre, de vecteur propre, puis la recherche de vecteurs propres….Ensuite, utilisant l’isomorphisme entre les matrices et les endomorphismes, nous passons aux matrices. Donc, dans ce paragraphe, 2 sections:
Une première liée aux endomorphismes, une seconde appliquée aux matrices
Diagonalisation, trigonalisation
Une matrice diagonale est une matrice simple; diagonaliser une matrice c’est trouver une matrice diagonale. S’il n’est pas possible de diagonaliser une matrice, pouvons nous trouver une matrice triangulaire semblable à cette matrice de base? Matrice moins simple, sans doute…Mais…
L’exposé sur la diagonalisation des matrices et celui sur la trigonalisation des matrices
Polynôme matriciels, théorème de Cayley-Hamilton
Souvent, en seconde année, il n’est travaillé ou énoncé que le théorème de Cayley Hamilton. Il est très intéressant de fouiller un peu plus et de s’attaquer aux polynômes d’endomorphismes ou aux polynômes matriciels. Nous découvrirons ainsi les endomorphismes nilpotents, les polynômes minimaux. Quelque part, le plus gros chantier de ce chapitre.
Le fichier qui expose polynômes matriciels, théorème de Cayley-Hamilton, endomorphismes nilpotents..
Travaux dirigés
Comme toujours, pour terminer un chapitre, je vous livre des exercices en compléments. Exercices qu’il faut faire pour tenter de maîtriser les notions exposées
Avec le corrigé!! Presque tous les exercices sont corrigés (39 pages, quand même!!)