Compléments sur la théorie des groupes
Voici la fin cours de L1 et L2 sur la théorie des groupes. On pourra considérer que ce n’est pas un cours réellement fini: il n’y a pas d’exposé sur les p-groupes de Sylow (ce que je ne m’interdis pas de faire dans le futur), peu d’explorations vers la géométrie. Cependant, je crois ce cours assez complet, utile et nécessaire pour comprendre et compléter d’autres parties de ce cours de mathématiques.
Un conseil: n’oubliez pas les cours de L0 et L1; revenez y, ils pourront compléter et éclairer l’exposé de L2. Il aurait été possible de ne faire qu’un seul cours sur les groupes, réunissant les cours de L0, L1 et L2. J’ai préféré suivre l’exemple de la visse qui passe, repasse et repasse encore sur chaque notion plusieurs fois et à chaque passage de manière plus approfondie.
Premières définitions sur les groupes
Contrairement au cours de L1 où je ne reviens pas sur les définitions, dans ce cours de L2 je redonne toutes les définitions, et même, parfois, plusieurs définitions ou points de vues différents de la même notion. Il y a dans ce paragraphe, plusieurs exemples de groupes issus de la géométrie ou des groupes de permutations, et il faut travailler ces exemples. C’est une excellente base pour la suite.
Voici la présentation des définitions et la présentation des exemples
Conséquences de la définition de groupes
Dans cette partie, nous tirons les conséquences de la définition de groupes. Ce sont des conséquences évidentes dont les démonstrations sont des exercices d’application directe
Les règles de calcul dans un groupe
Correspondances entre les groupes: les homomorphismes de groupe
Maintenant, passons à un autre volet: les homomorphismes de groupes.
Il est important d’étudier les correspondances entre ensembles de même structure, pour étudier, par exemple, les isomorphismes entre groupes et ces isomorphismes permettent de classer les groupes. C’est un paragraphe important. Il y a quelques petits exercices en fin de paragraphe (A faire, bien entendu!!)
Les morphismes de groupe et leurs propriétés
Les sous-groupes
Voici l’exposé d’une notion classique (que nous retrouvons dans tous les cours), celle de sous-groupe. Il n’y rien de bien nouveau; cela ressemble plus à un rappel de tout ce qui a été vu dans les cours précédents.
L’exposé sur les sous-groupes
Relation d’équivalence modulo un sous-groupe
Voici un paragraphe fondamental, structurant de la théorie des groupes.
Paragraphe qu’il faut bien travailler, comprendre, et je dirais comme souvent, posséder. Que dois-je écrire, sinon: Au travail!!.
Sous ce lien, l’exposé sur les relations d’équivalence
Les sous-groupes distingués
La notion de sous-groupe distingué est une notion qui a été introduite en L0 et L1, principalement par des exercices. Ici, nous en faisons une étude rigoureuse, systématique. Il y aussi des exercices d’importance qu’il faut faire
L’exposé sur les sous-groupes distingués (4 pages)
Décomposition canonique d’un homomorphisme
Que penser de ce paragraphe? Décomposer un morphisme en passant par un groupe quotient, telle est l’essence de cette décomposition. Paragraphe intéressant qui nous permet de trouver, une nouvelle fois des isomorphismes, et de simplifier les situations.
L’exposé sur la décomposition d’un homomorphisme de groupe
Les groupes cycliques
Ah!! Les groupes cycliques qui nous semblent si simples, et donc fascinants. J’ai toujours eu beaucoup de sympathies pour ce type de groupe….Et puis, lorsque nous nous y plongeons, nous y croisons les nombres premiers, les diviseurs, le ppcm…Avec les groupes cycliques, nous prenons six claques
L’exposé sur les groupes cycliques (6 pages, beaucoup d’exposé, peu d’exercices…à lire attentivement)
Relations de définition
Ce n’est pas un paragraphe transcendant. On y voit surtout comment fonctionnent les groupes engendrés et les homomorphismes qui en découlent. A lire, sûrement. Le fichier sur les relations de définition
Groupe symétrique, groupe alterné
Voilà un paragraphe qui ne manque pas d’intérêts et de questions!!…Il s’intéresse principalement aux groupes et sous-groupes de permutations d’un ensemble fini à n éléments. Quelles sont les permutations qui engendrent ces groupes ou sous-groupes?…Questions parfois difficiles, souvent source de problèmes (on les retrouve souvent dans les oraux de concours). A travailler donc pour l’entraînement, l’agilité d’esprit. On retrouve aussi la notion de signature de permutation déjà rencontrée dans la théorie des déterminants. Bref, un beau moment!!
L’exposé sur les permutations, les groupes symétriques et les groupes alternés
Le théorème de Cayley
Le théorème de Cayley est d’énoncé et de démonstration simples. On étudie dans ce paragraphe, ce que sont les automorphismes de groupe. Étude facile et néanmoins intéressante
L’exposé sur les automorphismes de groupe
Groupe opérant dans un ensemble
On dit aussi action de groupe, à ne pas confondre avec activisme.
Une fois ceci posé, la notion de groupe opérant dans un ensemble est très importante par son volet géométrique notamment. Il faut travailler cette notion qu’on peut retrouver sous d’autres formes dans d’autres volets des mathématiques.
L’exposé sur les groupes opérant dans un ensemble